Öklid Kimdir? Öklid Aksiyomları Nedir? Öklid’in Hayatı ve Çalışmaları

Yunan matematikçi Öklid, Milattan önce yaklaşık 300 yılında, I.Ptolemy’nin hanedanlığı altındaki Mısır’ın İskenderiye şehrinde yaşamıştır. Öklid muhtemelen Athena’daki Platon’un Akademisi’nde çalışmalarını gerçekleştirmişti. Fakat Öklid’in zamanında, Ptolemy Hanedanlığı altındaki, prestijli ve geniş kütüphanesiyle İskenderiye şehri Platon’un Akademisi’ne halihazırda bir rakip olmuştu.

Öklid sık sık geometrinin babası olarak adlandırılır. Belki de bütün zamanların en önemli ve başarılı kitabı olan Stoicheion yani Elementler adlı eserini yazmış olması, bu sıfata layık olmasının bir gerekçesidir. Elementler eseri, o zamana kadar Antik Yunan’da meydana gelmiş matematiksel devrimin doruk noktasını simgeler. Hatta İslam döneminin en ünlü matematikçilerinden olan Harezmi‘nin de ikinci dereceden denklemler çözmek adına geliştirdiği cebir yöntemini ortaya atmasında, bu eserin bir katkısı olduğu da söyleniyor. Ayrıca Öklid;

  • Belirli oranlarda geometrik sayıların bölünmesi üzerine,
  • Aynalar ve ışığın yansımasına ilişkin matematiksel teorilerle ilgili,
  • Küresel astronomi yani göksel küre üzerindeki gökcisimlerinin konumunun belirlenmesine yönelik ve
  • Optik ve müzik üzerine önemli çalışmalar şeklinde tanımlayabileceğimiz bir çok eser kaleme almıştır.
Görsel : Öklid’in Elementler Kitabı Alındığı Yer : Young Ocean

Öklid’in Elementleri

Öklid’in Elementler kitabı, Milattan önce yaklaşık 300 yılında yazılmış, 13 kitaptan oluşan matematiksel ve geometrik bir eserdir. Bu eser tanımlar, postulatlar (aksiyomlar), önermeler (teoremler ve yapılar) ve teoremlerin kanıtları gibi konuları kapsar. 13 kitap Öklid geometrisini ve temel sayı teorisinin Antik Yunan versiyonunu içerir. Elementler geçerliliğini kaybetmemiş en eski matematiksel çıkarım yöntemi olup mantığın ve modern bilimin gelişiminde çok önemli bir role sahip olduğu söylenebilir.

Öklid’in Elementleri şimdiye kadar yazılmış en başarılı eserlerden olup aynı zamanda matbaa icat edildikten sonra basılan ilk kitaplardan birisidir. Yayımlanan nüsha(baskı) sayısı açısından ise İncil’den sonra ikinci sırada gelmektedir(1000’in üzerinde). Yaklaşık 2000 yıl boyunca Batı dünyasında öğretilen geometri üzerine temel bir eser olarak kullanılmıştır. Matematik, geometri, müzik ve astronomi bütün üniversitedeki müfredatlara dahil edildiği zaman, Öklid’in Elementler kitabının en azından bir kısmının bilinmesi bütün öğrencilere zorunlu tutulmuştur. Yirminci yüzyıla kadar da bütün eğitimli insanların okuduğu bir kitap olarak kalmaya devam ettiğini söyleyebiliriz.

Elementlerde tanımlanan geometrik sistem uzun zaman boyunca klasik geometri olarak biliniyordu. Ancak günümüzde, 19.yüzyılda keşfedilen Öklid-dışı geometriden ayırmak için Öklid geometrisi olarak adlandırılır. Bu yeni geometri, matematikte en çok çalışılan aksiyomlardan biri olan Öklid’in beşinci postulatı üzerine 2000 yıl boyunca yapılan çalışmalar sonucu ortaya çıkmıştır.

Öklid’in Aksiyomları ve Kuralları

Öklid’in 1.Kitabı nokta, doğru ve yüzey gibi 23 tanımla başlar. Bunları beş postulat ve beş ortak görüş takip eder -Günümüzde bunlara aksiyomlar denir-. Bunlar, aşağıda yazılanların hepsinin temelidir:

Postulatlar:
  1. Herhangi iki noktayı birleştirerek düz bir doğru parçası çizilebilir.
  2. Bir doğru parçası, düz bir hat boyunca sonsuza kadar uzatılabilir.
  3. Bir doğru parçası kullanılarak, uzunluğu yarıçap olarak ve uç noktalarının biri merkez olacak şekilde bir daire çizilebilir.
  4. Bütün dik açılar eşdeğerdir.
  5. İki doğru parçası üçüncü ile kesişecek şekilde çizilirse bir taraftaki iç açıların toplamı iki dik açıdan daha azdır. Bu iki doğru parçası yeteri kadar uzatıldığında, o tarafta birbirleriyle kesişmelidir.(Paralel Postulatı olarak da bilinir.)
Ortak Görüşler:
  1. Aynı “maddeye” eşit olan şeyler birbirine de eşittir. (Öklid Bağıntısı)
  2. Eşit olanlara eşit olan miktarlar eklenirse toplamlar da eşit olur.
  3. Eşit olanlardan eşit olan miktarlar çıkarılırsa kalan da eşittir.
  4. Birbirine denk olan maddeler birbirine eşittir.
  5. Bütün, kendisini oluşturan parçalardan büyüktür.

Bu temel prensipler Öklid’in, yapısal geometriye olan ilgisini yansıtıyor. İlk üç postulat, temelde bir pergel ve düz kenarlı bir cetvelle gerçekleştirilebilecek şeyleri tanımlıyor.

Öklid Geometrisi

Öklid’in beş postulatının sonuncusu özel bir bahsi gerektiriyor. ‘Paralel Postulatı’ denilen şey diğerlerine göre açıklanmaya daha muhtaç gözüküyordu. Öklid, Elementler’in geri kalan bölümünde sadece ona değinmekle yetinir. Birçok geometrici ise paralel postulatının diğerlerine bakarak kanıtlanabilir olacağını düşünüyordu. Fakat bütün çabalar boşa çıkacaktı.

19.yüzyıla geldiğimizde böyle bir kanıtın var olmadığı gösterilmişti. Çünkü paralel postulatların yanlış olduğu ‘Öklid-dışı geometriler’ oluşturulabilirdi. Diğer postulatların ise doğruluğu geçerli olmaya devam ediyor. Bu sebepten matematikçiler, paralel postulatların diğer postulatlardan bağımsız olduğunu söyler.

Paralel postulatına ilişkin Öklid-dışı geometride iki alternatif mevcuttur: Bunlardan ilki Lobaçevski geometrisi -hiperbolik geometri- olarak bilinir. Hiperbolik geometride bir doğru üzerinde olmayan bir noktaya paralel sonsuz sayıda doğru vardır. İkinci alternatif ise Riemann geometrisidir- eliptik geometri-. Eliptik geometride bir noktadan geçen bir doğruya paralel olan hiçbir doğru yoktur.

Görsel: Soldan sağa; Öklid geometrisi, Hiperbolik geometri ve Eliptik geometri

Diğer geometrilerin mantıksal olarak tutarlı olabileceği, bilim ve felsefede yaratacağı büyük etkilerden dolayı matematikteki en önemli keşiflerden biri olduğu ortaya çıkacaktı. Aslında Albert Einstein’in Genel Görelilik Teorisi, içinde yaşadığımız ‘gerçek’ uzayın Öklid-dışı geometriye tabi olabileceğini gösteriyor-Örneğin kara delikler ve nötron yıldızları etrafındaki uzayın-.

Öklid’in Matematiğe Katkıları ve Buluşları

Diğer birçok matematiksel başarının yanında, 13 ciltlik Elementler kitabı koniler, piramitler ve silindirler gibi üç boyutlu cisimlerin hacimlerini hesaplayan formüller içerir. Bunun yanı sıra geometrik diziler, mükemmel ve asal sayılar, en büyük ortan böleni bulmak için algoritmalar ve iki sayının en küçük ortak katına ilişkin kanıtlar da bulunuyor.

Ancak Öklid, Elementler kitabında sayıların ve tam sayıların özellikleri üzerine bir dizi teoreme de yer vermiştir. Bu da sayı teorisinin ilk gerçek başlangıcına işaret eder. Örneğin Öklid, Aritmetiğin Temel Teoremi olarak bilinen, 1’den büyük her pozitif tam sayının, birtakım asal sayıların çarpımı olarak yazılabileceğini kanıtladı. Mesela 21 sayısı 3 ile 7 asal sayılarının çarpımıdır. 200 sayısı ise 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5 asal sayılarının çarpımına eşittir. Ya da 936 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 x 17 sonucuna eşittir.

Öklid Teoremi

Öklid ayrıca sonsuz sayıda asal sayının olduğunu kanıtlayan ilk matematikçidir. Çoğunlukla Öklid Teoremi olarak bilinen kanıtının dayanağı, herhangi bir sonlu asal sayı dizisi birbiriyle çarpılıp sonra 1 sayısı eklenirse, sonucun yeni bir asal sayı olduğudur. Mesela 2 x 3 x 5 = 30 sonucuna 1 eklediğimiz takdirde 31 sayısının da bir asal sayı olduğu örneğinde de bu görülebilir. Öklid’e göre bu süreç sonsuza kadar tekrar edebilir.

Öklid ayrıca ilk dört “mükemmel sayıyı” tanımlamıştır. Bunlar, bütün pozitif bölenlerinin toplamı olan sayılardır(Sayının kendisi hariç):

  • 6 = 1 + 2 + 3,
  • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 ve
  • 8128 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064.

Buna ek olarak bu sayıların birçok diğer ilginç özellikleri olduğuna da dikkat çeker. Örneğin; mükemmel sayılar ayrıca üçgensel sayılar olup en büyük asal sayıya kadar olan ardışık sayıların toplamına eşittir. Şöyle ki:

  • 6 = 1 + 2 + 3
  • 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
  • 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 30 + 31
  • 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 126 + 127.

Bu sayılara üçgensel sayılar denmesinin sebebi de herhangi büyüklükte bir üçgeni oluşturabilecek olan noktaların sayısına eşit olmasıdır. Aşağıdaki görselde de görülebileceği gibi üçgenler, kendilerini oluşturan noktaların toplamı olan üçgensel sayılardan oluşuyor.

Görsel Alındığı Yer: Vikipedi

“Elementlerin” Tarihi

Elementler kitabı Pisagor, Hipokrat, Theudius ve Eudoxus gibi düşünürlerin çalışmaları da dahil bütün matematiğin kapsayıcı bir açıklamasıdır. Öklid’in bu kitabı bazı kayıp kanıtları sağlıyor; sayı geometrisi ve üç boyutlu geometri üzerine olan bölümleri içeriyor. Öklid’in, asal sayıların sonsuzluğuna ilişkin ünlü kanıtı da 11. Kitap, 20. Önermededir.

Öklid’den birkaç yüz yıl sonra yaşamış Yunan matematikçi Proclus, Elementler kitabına yaptığı yorumda şöyle yazar:

Elementler eserini bir araya getiren, Eudoxus’un teoremlerinin çoğunu toplayan, Theaetetus’un teoremlerinin birçoğunu düzenleyen ve ayrıca öncellerinin tam kanıtlayamadığı şeyleri çürütülemez bir şekilde kanıtlayan Öklid’in kendisidir.

Öklid’in öğrencisi Proclo tarafından da Latin diline çevrilmiş bir versiyonu Araplar tarafından Bizans’tan alındıktan sonra Arapça’ya tercüme edilmiştir. İlk basılı nüshası ise 1482 yılında olduğu görülüyor. Bu tarihten beri birçok dile çevrilmiş ve yaklaşık bin farklı nüshası yayınlanmıştır.

Ayrıca Yunan dilinde olan kopyaları Vatikan Kütüphanesi’nde ve Oxford’daki Bodlean Kütüphanesi’nde mevcuttur. Ancak mevcut el yazmaları çok değişken niteliklere sahip ve eksiktir. Eserin orijinalleri ve tercümeleri dikkatle incelenerek, orijinal el yazmasının içeriği hakkında hipotezler ortaya konmuştur.

Öklid’in Çalışmaları ve Genel Hatları

Elementler, mantığın matematiğe uygulanmasında halen bir başyapıt olarak görülüyor ve tarihsel olarak bilimin birçok alanına yaptığı etki ise yadsınamaz niteliktedir. Nikolas Kopernik, Johannes Kepler, Galileo Galilei ve özellikle de Isaac Newton gibi bilim insanlarının hepsi, Elementlerdeki bilgileri kendi çalışmalarına uyarlamıştır.

Bertrand Russel ve Baruch Spinoza gibi filozoflar, Öklid’in aksiyomlaştırılmış çıkarımsal yapı yöntemini, kendi ilgili disiplinlerini meydana getirmek için bile kullanmıştır. Hatta günümüzde giriş niteliğindeki matematik kitapları da sık sık başlıklarında Elementler kitabındaki ifadelere yer verir.

Elementlerin başarısı, ağırlıklı olarak Öklid’in zamanına kadar olan matematiksel anlayışın çoğunun mantıksal bir sunumundan gelir. Her ne kadar kitaptaki kanıtların çoğu Öklid’e aitse de bilgilerin çoğu değildir.

Ancak Öklid’in yoğunlaştığı konu üzerindeki sistematik çalışmaları; yani küçük aksiyom dizilerinden derin sonuçlara ulaşması ve kitap boyunca edindiği yaklaşımın tutarlılığı, eserin yaklaşık 2000 yıl boyunca bir ders kitabı niteliğinde kullanılmasını mümkün kılmıştır. Modern geometri kitapları halen Elementler kitabından etkilenerek yazılıyor. Dahası onun aksiyomlarla ilgili mantıksal yaklaşımı ve sarsılmaz kanıtlarının matematiğin köşe taşlarından biri olduğunu söyleyebiliriz.

Öklid’in Elementler Kitabına Eleştiriler

Evrensel kabulü ve başarısına rağmen Elementler, birçoğu gerekçeli önemli eleştirilerin odağı olmuştur. Yukarıda bahsedilen Öklid’in paralel postulatı eleştirilenlerin başında gelir.

Diğer eleştiri ise tanımların, tanımlanan ifadeleri tamamen açıklamada yetersiz olduğu şeklindedir. Öklid’in 1.Kitap’daki tanımlarından birisi de şudur: Yarıçapları birbiriyle üst üste gelip ortak bir yarıçap oluşturan iki daire, iki noktada kesişecektir. Burada eleştirilen husus ise Öklid, ne postulat olarak öne sürülen ne de kanıtlanan bir öncül kullanmıştır.

19.yüzyılda elementler kitabı daha da fazla eleştiri oklarına maruz kaldı. Aynı zamanda Öklid-dışı geometriler çağdaş matematikçilerin dikkatini çekmeye başlamıştı. Hatta Richard Dedekind ve David Hilbert gibi öncü matematikçiler, Öklid geometrisini daha bütüncül kılmak için süreklilik ve uyum aksiyomu gibi aksiyomları Elementler kitabına eklemeye çalışmıştır.

Netice olarak Elementler kitabı, 2000 yıl boyunca matematik ve geometri konuları üzerine geçerliliği en çok kabul edilmiş kitaplardan biri olarak görülmüştür. Geometri ve matematik deyince aklımıza Öklid isminin gelmesi de bunun göstergelerinden birisidir.

Kaynaklar:

1- New World Encyclopedia, “Euclid”, (Alındığı Tarih: 23 Şubat 2021), New World Encyclopedia

2- The Story Of Mathematics, “Euclid of Alexandria-The Father Of Geometry”, (Alındığı Tarih 23 Şubat 2021), The Story Of Mathematics

Leave a Reply