Eudoxus Kimdir? Tüketme Yöntemi ve Matematiğe Katkıları

Eudoxus (M.Ö 408 – 355) Antik Yunan döneminde yaşamış bir matematikçi, astronom, coğrafyacı ve filozoftur. Günümüz Muğla ilinin Datça ilçesine bağlı Knidos antik kentinde fizyolog bir ailenin çocuğu olarak dünyaya gelmiştir.

Arşimet‘ten önce yaşamış en büyük matematikçi olarak kabul edilen Eudoxus, matematik ve astronomi alanlarında çok önemli çalışmalar gerçekleştirmiştir. Gezegenlerin hareketini açıklamak üzere, evrene ilişkin ilk matematiksel modeli ortaya koyduğu için, matematiksel astronominin kurucusu olarak kabul edilir. Bu modelle birlikte Eudoxus, evreni araştırabileceğimiz yeni, soyut bir bakış açısı kazandırmıştır.

Eudoxus, Öklid‘in Elementler isimli eserinde açıkladığı “Eşit Oranlar Teorisi‘nin fikir babasıdır. Böylece “reel sayılar” dediğimiz, rasyonel ve irrasyonel sayıları kapsayan sayı dünyasına ilişkin ilk net tanımı vermiştir. Aynı zamanda Tüketme Yöntemi isimli metodu geliştiren Eudoxus, Arşimet gibi matematikçilerin, geometrik cisimlerin alan ve hacimlerini hesaplamalarına yardımcı olacak birtakım araçlar sağlamıştır. İntegral hesabın öncüsü olarak görülen tüketme yöntemi, Eudoxus’un da koni ve piramitlerin hacimlerine ilişkin formülleri kanıtlamasını sağlar. Bu formüller, Öklid’in Elementler eserinin 12.kitabının temelini oluşturur. Elementler, o zamanki matematikçiler tarafından bilinen bütün matematik alanının bir derlemesi ve sentezi niteliğindeydi. Eudoxus’un bu esere yaptığı katkının, diğer matematikçilerin yaptığı toplam katkıdan daha fazla olduğu söylenebilir.

Eudoxus’un Hayatı

Eudoxus’un hayatına ilişkin detaylar eksik olmakla birlikte yaklaşık 2400 yıl önce, muhtemelen Platon ve Aristoteles‘in de yaşadığı dönemde Knidos’da dünyaya gelmiştir. Burada tıp eğitimi gördükten sonra 23 yaşındayken bir doktorun asistanı olarak Atina’ya giden Eudoxus, orada Platon’un kurmuş olduğu Akademi’de derslere katılmıştır. Söylenenlere göre çok fakir olduğu için Akademi’ye her gün yürüyerek gidip gelmek zorundadır. Öyle ki Akademi’ye gittiği 2 aylık süre boyunca gidiş ve dönüş için her gün toplam 14 kilometre boyunca yürümüştür.

Knidos’a geri döndükten sonra arkadaşları, Eudoxus’un maddi durumunu bildiklerinden aralarında para toplayıp ona yardımcı olurlar. Eudoxus’un çok zeki ve parlak birisi olduğunu bildikleri için bu parayı kendisinden esirgemezler. Bunun üzerine Eudoxus, M.Ö 381 yılında Mısır’a seyahat eder ve orada 16 boyunca ikamet eder. Astronomi eğitimi almak üzere Mısırlı papazların gözlemevlerini ziyaret eder ve orada astronomi öğrenir.

Mısır’da bir dizi astronomik gözlem yaptıktan sonra Pheaenomena kitabında da bu gözlemlerden bahsetmiştir. Eudoxus kitapta, takımyıldızlarının birbirlerine göre ve göksel küre üzerindeki hayali bir çizgiye göre konumlarını verirken, her ayın başında ufkun altında olan ya da yükselen yıldızların olduğu bir listeye de geniş yer verir.

Eudoxus daha sonra memleketi Knidos’a geri döner ve oradaki halk, Eudoxus’un hukuk alanındaki bilgisine istinaden şehrin valisi olması ve birtakım yasalar çıkarması için oylamayla onu göreve getirir. Bir yandan şehrin yönetimiyle ilgilenen Eudoxus, bir yandan da astronomi ve meteoroloji alanlarında çalışıp kitaplar yazmıştır.

Eudoxus, Knidos’ta kaldığı dönemde bir gözlemevi inşa etmişti. Burada ve Mısır’daki gözlemevinde yaptığı gözlemler, Hipparkos‘un da bahsettiği iki kitabın, Mirror(Ayna) ve Phaenomena(Fenomen) eserlerinin içeriğinin temelini oluşturur. Hipparkos, bu çalışmaların takımyıldızların doğuş ve batışı hakkında birtakım bilgiler içerdiğinden bahseder fakat ne yazık ki tıpkı Eudoxus’un diğer kitapları gibi bunlar da günümüze ulaşmamıştır.

Görsel: Eudoxus, Knidos’ta yaşadığı dönemde bir güneş saati icat etmiştir. Kaynak: Mactutor

Eudoxus’un Matematiğe Katkıları

Eudoxus’un, daha önce de bahsedildiği gibi Öklid’in Elementler kitabının 5.bölümünde yer verdiği Eşit Oranlar Teorisi ve Tüketme Teorisi’nin ortaya atılmasında oynadığı rol büyüktür. Eşit Oranlar Teorisi, “reel sayılar” olarak bildiğimiz irrasyonel ve rasyonel sayıların net bir tanımını verir.

Eudoxus’tan önce yaşamış olan Pisagor ve takipçilerinin, bir tam sayının katı olarak yazılamayan sayıları(örneğin √2) keşfettikleri zaman dünya görüşleri büyük bir sarsıntıya uğramıştı. Çünkü Pisagorcular, sayıların tanrısal bir özelliğe sahip olduğuna inanıyordu ve tanrısal bir varlık da mükemmel olmalıydı. Bu durumda tam sayılar, mükemmel olma kriterine uyuyordu. Fakat sorun şuydu ki Pisagorcular, irrasyonel sayıları bulmuşlardı. İrrasyonel sayılar ne bir tam sayıydı ne de herhangi iki tam sayının oranına eşitti. Eudoxus’un Eşit Oranlar Teorisi ise matematiği bu içinden çıkılmaz gibi görünen durumdan kurtarmıştır.

Eşit Oranlar Teorisi kısaca sayıların büyüklüğünün oranıyla alakalıdır. Örnek verecek olursak a, b, c ve d sayılarını ele alalım. Sayıları a/b ve c/d şeklinde oranlarız. Bu durumda “x” çarpanımız olsun. Eğer a.x, b.x‘den büyükse o zaman c.x ifadesi de d.x‘ten büyük olur. Ya da tam tersi olarak a.x < b.x ise o zaman c.x < d.x olur.

Tüketme Yöntemi

Tüketme Yöntemi gerçek değere en yakın sonuçları elde etmek için daha küçük büyüklükleri toplamayı ifade eden bir yöntemdir. Düzgün çokgenlerin alanlarını ve hacimlerini hesaplama konusunda titiz bir yöntem ortaya koyar. Bu yönüyle integral hesaplamanın erken bir habercisi olduğunu söyleyebiliriz. Eudoxus, dairenin alanını bulmak üzere şu tüketme yöntemini öne sürmüştü:

Bir üçgen ele alalım. Bu üçgenin içine, çevresi üçgenin köşelerine değecek şekilde bir daire yerleştirelim. Bu durumda üçgenin alanı ve onu çevreleyen dairenin alanı arasında önemli bir fark olacaktır. Şimdi dıştaki üçgeni bir altıgenle değiştirelim. Altıgenin kenar sayısı üçgene göre daha fazla olduğu için daireye daha fazla benzeyecektir ve böylelikle daire ile altıgenin alanları arasında daha az bir farklılık olacaktır.

Tüketme Yöntemi
Görsel: Eudoxus tarafından geliştirilen Tüketme Yöntemine bir örnek. Dairenin içindeki çokgenin kenar sayısı ne kadar artarsa daireye o kadar yakınsayacaktır. Böylece çokgenin alanını hesaplayarak dairenin alanı da bulunabilir.

Bu işlemi 12, 24, 48… kenarlı çokgenlerle devam ettirecek olursak, çokgenin kenar sayısı arttıkça dairenin alanına o kadar yakın bir alana sahip olacaktır. İşte bu süreci “tüketmiş” olduk ve dairenin alanını yüksek bir hassasiyetle hesapladık.

Eudoxus’un bulduğu Tüketme Yöntemi onu, modern matematiğe diğer çalışmalarından daha çok yaklaştırmıştır. Arşimet, Eudoxus’tan önce doğru olduğu düşünülen, fakat ilk defa Eudoxus tarafından kanıtlanan iki teoremden de bahseder: Birincisi, bir piramidin hacmi, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir prizmanın hacminin üçte biridir. İkincisi ise bir koninin hacmi, aynı taban ve yüksekliğe sahip bir silindirin hacminin üçte biridir.

Arşimet bu sonuçların ilk defa Demokritos tarafından bulunduğunu ve ilk kanıtların da Eudoxus tarafından verildiğini söylüyor. Ayrıca Arşimet, Tüketme Yöntemi’ni kendisi de oldukça etkili bir şekilde kullanmıştı. “Pi”(π) sayısını, 10000’de 1 den daha büyük bir doğruluk payıyla hesaplamak üzere Tüketme Yöntemi’nden faydalanmıştır. Bulduğu bu yaklaşık değerin de modern hesaplama yöntemleri gelişene kadar kullanılmış olduğunu söyleyelim.

Eudoxus ve Astronomi

Eudoxus, Kizikos’a geri döndüğünde kendi okulunu kurmuştu. Burada en önemli astronomik çalışması olan Hızlar Üzerine(On Speeds) isimli eserini kaleme almıştır. Eserde yıldızların, Güneş’in, Ay’ın ve gezegenlerin hareketlerine ilişkin geliştirdiği teorileri açıklar. Eudoxus’un bu teoriyi geliştirmede, kürenin en kusursuz şekil olduğunu söyleyen Pisagorcu görüşten etkilenerek, kürelere dayalı bir astronomik sistem geliştirmiştir. “Eş merkezli küreler sistemi” olarak bilinen bu model, çok sayıda dönen kürelerden oluşur. Her küre ise Dünya’nın merkezinden geçen bir eksen etrafında döner. Fakat kürelerin ekseni sabit olmayıp, diğer dönen küreler üzerindeki sabit noktaların belirlediği şekilde dönerler.

Örneğin aşağıdaki görselde olduğu gibi iki küreye sahip olduğumuzu düşünelim. Birinci küre K1, ikinci küre K2 olsun. K1 küresinin XY ekseni, AB eksenli K2 küresinin çapına karşılık gelir. K2 küresi AB ekseni boyunca döndükçe K1 küresinin XY ekseni de onunla beraber fakat ters yönde döner. Şimdi de P noktası üzerinde bir gezegenin olduğunu varsayalım. Eğer iki küre sabit bir hızla fakat ters yönlerde dönerse, XY eksenli K1 küresinin ekvatoru üzerinde bulunan P noktasındaki gezegen, “sekiz” şeklinde bir eğri çizer. Bu eğri ise gezegenlerin sergilediği retrograde hareketine karşılık gelir.

Eudoxus, bu iki küreli sisteme ek olarak, gezegenlerin günlük dönüş hareketine karşılık üçüncü bir küre ekler. Bu üç küreli sisteme ise yıldızların günlük dönüş hareketini veren dördüncü bir küreyi de eklemeyi ihmal etmez. Eudoxus’a göre sabit yıldızlar, dıştaki en büyük eş merkezli küre üzerinde bulunur. Sonuç olarak bütün gök cisimlerin hareketlerini açıklayabilmek için toplam 27 küreli bir sistem gerekir.

Bu modelin fevkalade bir matematiksel başarıya sahip olduğundan hiç şüphe yok. Fakat sorulması gereken sorular şunlardır: Eudoxus gerçekten bu kürelerin var olduğuna inanıyor muydu? Yoksa onları sadece bir hesaplama yöntemi olan geometrik bir model olarak mı icat etti? Ya da bu model gezegenlerin gözlemlenen hareketlerini kesin olarak açıklıyor muydu?

Eudoxus’un geliştirdiği modelin, gezegenin merkezden sabit bir mesafede kaldığını varsayar. Fakat aslında gözlem yapıldığı zaman görülecektir ki gezegenler zaman içinde parlaklık değişimine uğrarlar. Bu da demek oluyor ki gezegenlerin bize olan mesafesi sürekli değişir. Modelin açıklayamadığı ikinci husus, gezegenin modelde sergilediği retrograde hareketinin eğrisinin şekli sürekli olarak aynı kalırken, gerçekte gezegenlerin sergilediği bu eğrinin şekli ve boyutu değişir. Özellikle de bu modelin, Mars ve Venüs’ün retrograde eğrilerini açıklamakta oldukça başarısız olduğunu söyleyebiliriz. Son olarak model, mevsimlerin uzunluğunu ve Ay’ın görünür çapının büyüklüğünün değişimini açıklamakta da yetersiz kalıyordu.

Sonuç olarak her ne kadar Eudoxus tarafından geliştirilen bu astronomik model onun geometrik becerisinin bir kanıtı olsa da gözlemsel astronomi alanında kendine pek bir yer edinememiştir. Zamanla Pergeli Apollonius tarafından ortaya atılan ve Batlamyus tarafından geliştirilen epicycle modeli, gezegenlerin retrograde döngüsünü açıklamakta kullanılmıştır. Eudoxus’tan bir yüzyıl sonra ise Aristarkus, bütün gezegenlerin Güneş etrafında döndüğünü söyleyerek tarihte ilk defa Güneş Merkezli Evren Modeli‘ni ortaya atacaktır. Fakat bu modelin evrensel olarak kabul edilmesi için tarih sahnesine Nicholas Copernicus‘un çıkması gerekiyordu. 2000 yıl boyunca tarihin tozlu sayfalarına karışan Güneş Merkezli Evren Modeli, Copernicus tarafından 1543 yılında tekrar gün yüzüne çıkarılmıştır.

Eudoxus, erken denilebilecek bir yaşta, 53 yaşında hayata gözlerini yummuştur. Arkasında ise matematik alanına Tüketme Yöntemi ve Eşit Oranlar Teorisi gibi metotları miras bırakarak, modern matematiksel hesapların geliştirilmesine katkıda bulunacak yöntemler geliştirmiştir.

Kaynaklar:

1- Mactutor, “Eudoxus of Cnidus

2- Biography Your DictionaryEudoxus of Cnidus

3- Famous Scientists, “Eudoxus of Cnidus

4- Science World, “Eudoxus of Cnidus (ca. 400-ca. 347 BC)”

Leave a Reply